p{font-size:10.5pt;line-height:150%;margin:0;padding:0;}td{font-size:10.5pt;}已知梯形ABCD中.AD∥BC.∠ABC =∠BAD =.AB=BC=2AD=4.E.F分别是AB.CD上的点.EF∥BC.AE = x.G是BC的中点.沿EF将梯形ABCD翻折.使平面AEFD⊥平面EBCF .(1) 当x=2时.求证:BD� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（08年周至二中二模理）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE = x，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如图) .

(1) 当x=2时，求证：BD⊥EG ；

(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；

(3) 当 f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值.

:（1）（法一）∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz。

则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）

（－2，2，2），（2，2，0）

（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴

（法二）作DH⊥EF于H，连BH，GH，由平面平面知：DH⊥平面EBCF，而EG平面EBCF，故EG⊥DH。又四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH，BHDH＝H，故EG⊥平面DBH，而BD平面DBH，∴ EG⊥BD。（或者直接利用三垂线定理得出结果）

（2）∵AD∥面BFC，

所以 V_A-BFC＝＝4(4-x)x

即时有最大值为。

（3）（法一）设平面DBF的法向量为，∵AE=2, B（2，0，0），D（0，2，2），

F（0，3，0）,∴（－2，2，2）,

则，

即，

取x＝3，则y＝2，z＝1，∴

面BCF的一个法向量为

则cos<>=

由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为－

（法二）作DH⊥EF于H，作HM⊥BF，连DM。

由三垂线定理知 BF⊥DM，∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角。

由△HMF∽△EBF，知，而HF=1，BE=2，，∴HM＝。

又DH＝2，

∴在Rt△HMD中，tan∠DMH=-，

因∠DMH为锐角，∴cos∠DMH＝，

而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角，

故二面角D-BF-C的余弦值为－。

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