Question

13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a-b=2，c=4，sinA=2sinB．
（Ⅰ）求a，b及cosB的值；
（Ⅱ）求sin（2B-$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理化简sinA=2sinB，可得a=2b，又a-b=2，解得a，b，由余弦定理即可解得cosB的值．
（Ⅱ）利用范围0＜B＜π，根据cosB的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用二倍角公式可求sin2B，cos2B，利用两角差的正弦函数公式可求sin（2B-$\frac{π}{6}$）的值．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，∵sinA=2sinB，
∴a=2b，…（2分）
又a-b=2，解得a=4，b=2．   …（4分）
由余弦定理得，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{7}{8}$．…（6分）
（Ⅱ）∵0＜B＜π，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$． …（7分）
∴sin2B=2sinBcosB=2×$\frac{\sqrt{15}}{8}$×$\frac{7}{8}$=$\frac{7\sqrt{15}}{32}$，…（9分）
cos2B=2cos²B-1=$\frac{17}{32}$．   …（11分）
∴sin（2B-$\frac{π}{6}$）=sin2Bcos$\frac{π}{6}$-cos2Bsin$\frac{π}{6}$=$\frac{21\sqrt{5}-17}{64}$．   …（13分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．