Question

已知数列{a_n},a_n0_, a₁=0,a_n+1²+a_n+1-1=a_n²（nN*）.记：

S_n=a₁+a₂+…+a_n,  T_n=…+.

求证：当nN*时，

（Ⅰ）a_n<a_n+1;

（Ⅱ）S_n>n-2;

（III）T_n<3.

Answer 1

证明：（Ⅰ）用数学归纳法证明

①当时，因为是方程的正根，所以

       ②假设当时，，

       因为

                            　

       所以

即当时，也成立。

根据①和②，可知对于任何都成立。

（Ⅱ）由，

       得，

       因为，所以。

由及得，

所以。

（Ⅲ）由，得

      

所以，

于是

故当时，，

又因为，

所以。