Question

已知点M（2，1）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上，椭圆的两个焦点F₁（-2，0）和F₂（2，0），斜率为-1的直线l与椭圆C相交于不同的P、Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点B的坐标为（0，2），是否存在直线l，使△BPQ为以PQ为底边的等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意知，半焦距c=2，由点M（2，1）在椭圆C上，得|MF₂|=1，|MF₁|=7；∴2a=|MF₁|+|MF₂|=8；∴a=4，∴b²=a²-c²=4；所以，椭圆C的方程为：+=1．
（Ⅱ）设PQ的中点为R，直线l的方程为y=-x+m；
由，得5x²-8mx+4m²-16=0（*）；
要使l与椭圆C相交于不同的P、Q两点，则有△＞0；
∴△=（-8m）²-4×5（4m²-16）=16（-m²+20）＞0，
化简，得|m|＜2． ①
由（*）知：x_R==m，y_R=-x_R+m=m．
且|BP|=|BQ|，所以BR⊥PQ，即k_RQ•（-1）=-1；
所以==1，解得m=-．
因为＜2，所以m=-适合①．
所以存在满足条件的直线l；y=-x-．
分析：（Ⅰ）由半焦距c=2，点M（2，1）在椭圆C上，可得|MF₂|，|MF₁|；由|MF₁|+|MF₂|=2a，可得a的值，从而得椭圆C的方程．
（Ⅱ）设PQ的中点为R，直线l的方程为y=-x+m；由，得5x²-8mx+4m²-16=0（*）；要使l与椭圆C相交于不同的P、Q两点，则有△＞0，可得|m|＜2 ①，由（*）和中点坐标知x_R，y_R；且|BP|=|BQ|，得BR⊥PQ，即得k_RQ的值；从而解得m的值，得满足条件的直线l．
点评：本题考查了直线与椭圆标准方程的综合应用问题，解题时要弄清题中所给的条件，灵活运用椭圆的定义，根与系数的关系式，以及中点坐标公式来进行求解．