Question

在平面直角坐标系中，点P（x，y）满足约束条件：

7x-5y-23≤0 x+7y-11≤0 4x+y+10≥0

．
（1）在给定的坐标系中画出满足约束条件的可行域 （用阴影表示，并注明边界的交点）；
（2）设u=

y+7

x+4

，求u的取值范围；
（3）已知两点M（2，1），O（0，0），求

OM

•

OP

的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根据直线定出区域的边界，不等式确定区域，由约束条件画出可行域；
（2）u=

y+7

x+4

，利用u的几何意义求最值，只需求出何时可行域内的点与点（-4，-7）连线的斜率的最值，从而得到 u的取值范围．
（3）先根据向量的数量积公式得出

OM

•

OP

=2x+y，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y经过点A时，z取到最大值，从而得到答案即可．

解答：解：（1）由

7x-5y-23=0 x+7y-11=0

得

x=4 y=1

，∴A（4，1）…（1分）
由

7x-5y-23=0 4x+y+10=0

得

x=-1 y=-6

，∴B（-1，-6）…（2分）
由

4x+y+10=0 x+7y-11=0

得

x=-3 y=2

，∴C（-3，2）…（3分）
画出可行域N，如右下图所示…（4分）

（2）u=

y-(-7)

x-(-4)

=kDP．…（5分）
当直线DP与直线DB重合时，倾斜角最小且为锐角，此时kDB=

1

3

；   …（6分）
当直线DP与直线DC重合时，倾斜角最大且为锐角，此时k_DC=9；  …..（7分）
所以u=

y+7

x+4

的取值范围为[

1

3

，9]．…（8分）
（3）

OM

•

OP

=(2，1)•(x，y)=2x+y，…..（10分）
设z=2x+y，则y=-2x+z，…..…（11分）z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，…（12分）
当直线y=-2x+z经过点A时，z取到最大值，…（13分）
这时z的最大值为z_max=2×4+1=9．…．（14分）

点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．