Question

【题目】如图，在四棱锥中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）已知点M是线段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求实数λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，连结BD，由题意知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，

∴△ABD为正三角形，

又∵AQ=QD，∴Q为AD的中点，∴AD⊥BQ，

∵△PAD是正三角形，Q为AD中点，

∴AD⊥PQ，又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，

又∵PB平面PQB，∴AD⊥PB．

（2）解：连结AC，交BQ于N，连结MN，

∵AQ∥BC，∴ ，

∵PN∥平面MQB，PA平面PAC，

平面MQB∩平面PAC=MN，

∴根据线面平行的性质定理得MN∥PA，

∴ ，

综上，得 ，∴MC=2PM，

∵MC=λPM，∴实数λ的值为2．

【解析】（1）连结BD，则△ABD为正三角形，从而AD⊥BQ，AD⊥PQ，进而AD⊥平面PQB，由此能证明AD⊥PB．（2）连结AC，交BQ于N，连结MN，由AQ∥BC，得 ，根据线面平行的性质定理得MN∥PA，由此能求出实数λ的值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解空间中直线与直线之间的位置关系(相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点)，还要掌握直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)的相关知识才是答题的关键．