Question

若实数x、y、m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m．
（1）若x²-1比3接近0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a²b+ab²比a³+b³接近2ab

ab

；
（3）已知函数f（x）的定义域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．

Answer 1

分析：（1）根据新定义得到不等式|x²-1|＜3，然后求出x的范围即可．
（2）对任意两个不相等的正数a、b，依据新定义写出不等式，利用作差法证明：a²b+ab²比a³+b³接近2ab

ab

；
（3）依据新定义写出函数f（x）的解析式，f(x)=

1+sinx x∈(2kπ-π，2kπ) 1-sinx x∈(2kπ，2kπ+π)

 =1-|sinx|，x≠kπ
直接写出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性，即可．

解答：解：（1）|x²-1|＜3，0≤x²＜4，-2＜x＜2
x∈（-2，2）；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，
有a2b+ab2＞2ab

ab

，a3+b3＞2ab

ab

，
因为|a2b+ab2-2ab

ab

|-|a3+b3-2ab

ab

|=-(a+b)(a-b)2＜0，
所以|a2b+ab2-2ab

ab

|＜|a3+b3-2ab

ab

|，
即a²b+ab²比a³+b³接近2ab

ab

；
（3）f(x)=

1+sinx x∈(2kπ-π，2kπ) 1-sinx x∈(2kπ，2kπ+π)

 =1-|sinx|，x≠kπ，
k∈Z，f（x）是偶函数，f（x）是周期函数，
最小正周期T=p，函数f（x）的最小值为0，
函数f（x）在区间[kπ-

π

2

，kπ)单调递增，
在区间(kπ，kπ+

π

2

]单调递减，k∈Z．

点评：本题是新定义题目，直线审题是能够解题的根据，新定义问题，往往是结合相关的知识，利用已有的方法求出所求结果．注意转化思想的应用．