Question

若实数x，y，m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y靠近m．
（Ⅰ）若x+1比-x靠近-1，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）①对任意x＞0，证明：ln（1+x）比x靠近0；②已知数列{a_n}的通项公式为an=1+21-n，证明：a₁a₂a₃…a_n＜2e．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据定义可得不等式，再按照绝对值不等式的解法求解，即可求实数x的取值范围；
（Ⅱ）①由题意，|ln（1+x）-0|-|x-0|=ln（1+x）-x，记f（x）=ln（1+x）-x，利用导数证明f（x）在（0，+∞）内单调递减，即可得到结论；
②利用①的结论，利用放缩法，结合等比数列的求和公式，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）依题意，|x+1-（-1）|＜|-x-（-1）|，即|x+2|＜|x-1|．     …（2分）
此不等式同解于 （x+2）²＜（x-1）²，解得x＜-

1

2

．                     …（4分）
（Ⅱ）①因为x＞0，所以 ln（1+x）＞0，
所以|ln（1+x）-0|-|x-0|=ln（1+x）-x．                           …（6分）
记f（x）=ln（1+x）-x，则f（0）=0．
因为f′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0，所以f（x）在（0，+∞）内单调递减．
所以f（x）＜f（0）=0，即 ln（1+x）＜x．
所以ln（1+x）比x靠近0．                                         …（9分）
②显然2^1-n＞0．由①的结论，得ln(a2a3…an)=lna2+lna3+…+lnan=ln(1+2-1)+ln(1+2-2)+…+ln(1+21-n)＜2-1+2-2+…+21-n=

2-1(1-21-n)

1-2-1

＜

2-1

1-2-1

=1，
所以a₂a₃…a_n＜e．
又a₁=2，所以a₁a₂a₃…a_n＜2e．                                           …（14分）

点评：本题通过新定义来考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，正确理解新定义是关键．