Question

三棱锥的下底是边长为6的等边三角形，若所有侧棱都是4

3

，则它的侧棱与下底面所成的角为

60°

．

Answer 1

分析：由题意可知三棱锥为正三棱锥，过顶点作底面的垂线，连结底面三角形的一个顶点和垂足，然后通过解直角三角形求出侧棱和底面所成的角．

解答：解：如图，
因为三棱锥P-ABC的底面ABC的边长都为6，
且三条侧棱的长都为4

3

．
所以此三棱锥为正三棱锥．
设顶点P的射影为O，连结AO并延长交BC于D，
则AD为边BC上的高．
由△ABC为等比三角形且边长等于6，所以BC边上的高（中线）AD=3

3

．
所以AO=

2

3

×3

3

=2

3

．
所以侧棱PA与底面ABC所成角的余弦值为cos∠PAO=

AO

PA

=

2 3

4 3

=

1

2

．
则侧棱与下底面所成的角为60°．
故答案为60°．

点评：本题考查了直线与平面所成的角，关键是线面角的找法，是中档题．