Question

已知f（x）=x²+bx+2，x∈R，若方程f（x）+|x²-1|=2在（0，2）上有两个解x₁，x₂，则b的取值范围为（　　）

• A．-

  5

  2

  ＜b＜-1
• B．-

  7

  2

  ＜b≤-1
• C．-

  7

  2

  ＜b＜-1
• D．-

  5

  2

  ＜b≤-1

Answer 1

分析：由f（x）=x²+bx+2，x∈R，f（x）+|x²-1|=2，知x²+bx+|x²-1|=0，设0＜x₁＜x₂＜2，构造函数H（x）=x²+bx+|x²-1|=

bx+1，|x|≤1 2x2+bx-1，|x|＞1

，由此能求出b的取值范围．

解答：解：∵f（x）=x²+bx+2，x∈R，f（x）+|x²-1|=2，
∴x²+bx+|x²-1|=0，
不妨设0＜x₁＜x₂＜2，
令H（x）=x²+bx+|x²-1|=

bx+1，|x|≤1 2x2+bx-1，|x|＞1

，
因为H（x）在（0，1]上是单调函数，
所以H（x）=0在（0，1]上至多有一个解．
若x₁，x₂∈（1，2），即x₁、x₂就是2x²+bx-1=0的解，
x₁x₂=-

1

2

＜0，与题设矛盾．
因此，x₁∈（0，1]，x₂∈（1，2）．由H（x₁）=0得b=-

1

x1

，所以b≤-1；
由H（x₂）=0得b=

1

x2

-2x₂，所以-

7

2

＜b＜-1．
故选C．

点评：本题考查复合函数的知识，考查二次函数的值域意识，考查方程的根与方程系数之间的关系，求取值范围关键要确定出字母满足的不等式．