Question

（2013•日照二模）设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N^*，都有（a_n-1）（a_n+3）=4S_n，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求证数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若数列{

4

a 2 n -1

}的前n项和为T_n，试证明不等式

1

2

≤Tn＜1成立．

Answer 1

分析：（I）先将题设中数列的和与项的关系式转化为数列的项的关系式，根据等差数列的定义证明即可；
（II）求出a_n，再求出数列{

4

a 2 n -1

}的通项，用裂项相消法求出T_n，根据T_n的单调性证明即可．

解答：解：（Ⅰ）∵（a_n-1）（a_n+3）=4S_n，当n≥2时，（a_n-1-1）（a_n-1+3）=4S_n-1，
两式相减，得

a

2 n

-

a

2 n-1

+2an-2an-1=4an，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，又a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2．
当n=1时，（a₁-1）（a₁+3）=4a₁，∴（a₁+1）（a₁-3）=0，又a₁＞0，∴a₁=3．
所以，数是以3为首项，2为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ），a₁=3，d=2，∴a_n=2n+1．
设bn=

4

an2-1

，n∈N^*；∵a_n=2n+1，∴an2-1=4n(n+1)))
∴bn=

4

4n(n+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1．
又∵Tn+1-Tn=

n+1

n+2

-

n

n+1

=

1

(n+2)(n+1)

＞0，∴Tn+1＞Tn＞Tn-1＞…＞T1=

1

2

，
综上所述：不等式

1

2

≤Tn＜1成立．

点评：本题考查裂项相消法求数列的和及利用定义证明等差数列．