Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数，使得，证明：.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上递增，在上递减；

当时，在上递增，在上递减，在上递增；

当时，在上递增；

当时，在上递增，在上递减，在上递增；

（2）证明见解析

【解析】

（1）对求导，分，，进行讨论，可得的单调性；

（2）在定义域内是是增函数，由（1）可知，，设，可得，则，设，对求导，利用其单调性可证明.

解：的定义域为，

因为，

所以，

当时，令，得，令，得；

当时，则，令，得，或，

令，得；

当时，，

当时，则，令，得；

综上所述，当时，在上递增，在上递减；

当时，在上递增，在上递减，在上递增；

当时，在上递增；

当时，在上递增，在上递减，在上递增；

（2）在定义域内是是增函数，由（1）可知，

此时，设，

又因为，则，

设，则

对于任意成立，

所以在上是增函数，

所以对于，有，

即，有，

因为，所以，

即，又在递增，

所以，即.