Question

如图1，已知点P在矩形ABCD边DC上，AB=2，BC=1，点F在AB上且DF⊥AP，垂足为E，将△ADP沿AP折起，使点D位于点D'位置，连接D'B，D'C得四棱锥D'-ABCP（如图2）。

（1）求D'F与AP所成角的大小；
（2）若二面角D'-AP-B和D'F与平面ABCP所成角的大小均为，求四棱锥D'-ABCP的体积。

Answer 1

解：（1）因为AP⊥D'E，AP⊥EF，D'E∩EF=E，
所以AP⊥平面D'EF，
所以AP⊥D'F，
即D'F与AP所成角的大小为。
（2）由（1）知AP⊥平面D'EF，
所以平面D'EF⊥平面ABCP，
并且因为二面角D'-AP-B的大小为
所以易知∠D'EF=
过D'作平面ABCP的垂线，垂足为H，则H必在EF上，
所以∠D'FE=，
所以△D'EF是等边三角形，
所以D'E= EF，即DE=EF，
所以△DAF是等腰直角三角形，所以易得DP=1且
所以四棱锥D'-ABCP的高D'H=
又因为
∴。