Question

（本小题满分13分）
(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为几种？
(2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？
(3)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？

Answer 1

解：(1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A₄³＝24(种)．
(2)∵总的排法数为A₅⁵＝120(种)，
∴甲在乙的右边的排法数为A₅⁵＝60(种)．
(3)法一：每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数．
分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；
若分配到2所学校有C₇²×2＝42(种)；
若分配到3所学校有C₇³＝35(种)．
∴共有7＋42＋35＝84(种)方法．
法二：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C₉⁶＝84种不同方法．
所以名额分配的方法共有84种．

略