Question

已知集合M={-1，1，3，5}和N={-1，1，2，4}．设关于x的二次函数f（x）=ax²-4bx+1（a，b∈R）．
（Ⅰ）若b=1时，从集合M取一个数作为a的值，求方程f（x）=0有解的概率；
（Ⅱ）若从集合M和N中各取一个数作为a和b的值，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由方程f（x）=ax²-4x+1=0有解，可得

a≠0 △=16-4a ≥0

，即 a≤4，且 a≠0．由于所有的a共有4个，而满足条件的a有3个，由此求得方程f（x）=0有解的概率．
（Ⅱ）由于函数f（x）=ax²-4bx+1图象的对称轴为x=

2b

a

，要使y=f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，应有a＞0且

2b

a

≤1，即a≥2b，且a＞0．求得满足条件的（a，b）
有6个，而所有的（a，b）共有4×4=16个，由此求得函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

解答：解：（Ⅰ）因为b=1，由方程f（x）=ax²-4x+1=0有解，
所以，

a≠0 △=16-4a ≥0

，即 a≤4，且 a≠0．∵a∈M={-1，1，3，5}，∴a=-1，1，2，
故方程f（x）=0有解的概率为 P=

3

4

．------（6分）
（Ⅱ）由于二次函数f（x）=ax²-4bx+1图象的对称轴为x=

2b

a

，
要使y=f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，应有a＞0且

2b

a

≤1，即a≥2b，且a＞0．
①若a=1，则b=-1；②若a=3，则b=-1，1；③若a=5，则b=-1，1，2．
而所有的（a，b）共有4×4=16个，∴所求概率为 P=

6

16

=

3

8

．----（14分）

点评：本题主要考查二次函数的性质应用，属于基础题．