Question

已知S₁为直线x=0，y=4-t²及y=4-x²所围成的面积，S₂为直线x=2，y=4-t²及y=4-x²所围成图形的面积（t为常数）．
（1）若t=

2

时，求S₂；                 
（2）若t∈（0，2），求S₁+S₂的最大值．

Answer 1

分析：（1）当t=

2

时，S₂=

∫

2 2

[2-(4-x2)]dx，然后求出被积函数的原函数，从而求出S₂的值；
（2）分别利用定积分表示出S₁与S₂，从而得到S=S₁+S₂关于t的函数，再利用导数研究函数的单调性，从而可求出S的最大值．

解答：解：（1）当t=

2

时，S₂=

∫

2 2

[2-(4-x2)]dx=（

1

3

x³-2x）

|

2 2

=

4

3

(

2

-1)．…（4分）
（2）t∈（0，2），S₁=

∫

2 t

[(4-x2)-(4-t2)]dx=

(t2x- 1 3 x3)|

t 0

=

2

3

t3，…（6分）
S₂=

∫

2 t

[(4-t2)-(4-x2)]dx=

( 1 3 x3-t2x)|

t 0

=

8

3

-2t2+

2

3

t3，…（10分）
∴S=S₁+S₂=

4

3

t3-2t2+

8

3

，
S′=4t²-4t=4t（t-1），令S′=0得t=0（舍去）或t=1，
当0＜t＜1时，S′＜0，S单调递减，
当t＞1时，S′＞0，S单调递增，
∴当t=1时，S_min=2．…（14分）

点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及利用导数研究函数在给定区间上的最值，同时考查了计算能力，属于基础题．