Question

如图，在三棱锥中，，，是的中点，且，．

（I）求证：平面平面；

（II）试确定角的值，使得直线与平面所成的角为．

Answer 1

解析：本例可利用综合法证明求解，也可用向量法求解.

答案:解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中点，

，又底面．．于是平面．

又平面，平面平面．

（Ⅱ） 过点在平面内作于，则由（Ⅰ）知平面．

连接，于是就是直线与平面所成的角．

依题意，所以

在中，；

在中，，

．

，．

故当时，直线与平面所成的角为．

解法2：（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

于是，，，．

从而，即．

同理，

即．又，平面．

又平面．

平面平面．

（Ⅱ）设平面的一个法向量为，

则由．

得

可取，又，

于是，

即，．

故交时，直线与平面所成的角为．

解法3：（Ⅰ）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，

于是，，．

从而，即．

同理，即．

又，  平面．

又平面，  平面平面．

（Ⅱ）设平面的一个法向量为，

则由，得

可取，又，

于是，

即．  故角时，

即直线与平面所成角为．

 点评：证明两平面垂直一般用面面垂直的判定定理,求线面角一是找线在平面上的射影在直角三角形中求解,但运用更多的是建空间直角坐标系,利用向量法求解