Question

给出下列命题：
①已知a，b，m都是正数，且

a+m

b+m

＞

a

b

，则a＜b；
②当x∈（1，+∞）时，函数y=x3，y=x

1

2

的图象都在直线y=x的上方；；
③命题“?x∈R，使得x²-2x+1＜0”的否定是真命题；
④“|x|≤1，且|y|≤1”是“|x+y|≤2”的充分不必要条件．
其中正确命题的序号是

①③④

．（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：利用不等式的性质判断出①对；利用幂函数的图象判断出②错；利用命题的否定与原命题真假相反判断出③对；利用绝对值的性质及充要条件的定义判断出④对．

解答：解：对于：①已知a，b，m都是正数，

a+m

b+m

＞

a

b

⇒ab+bm＞ab+am⇒a＜b；正确；
对于②，因为当x∈（1，+∞）时，函数y=x³的图象都在直线y=x的上方；但函数y=x

1

2

的图象都在直线y=x的下方；所以②错误；
对于③，因为x²-2x+1=（x-1）²≥0恒成立，所以命题“?x∈R，使得x²-2x+1＜0”为假命题，所以命题“?x∈R，使得x²-2x+1＜0”的否定是真命题；所以③正确；
对于④，因为||x|-|y||≤|x+y|≤|x|+|y|，所以若④“|x|≤1，且|y|≤1”成立，则|≤|x|+|y|≤2，所以“|x+y|≤2”成立，反之“|x+y|≤2”例如x=-1，y=3满足，但不满足④“|x|≤1，且|y|≤1”，所以“|x|≤1，且|y|≤1”是“|x+y|≤2”的充分不必要条件，所以④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查绝对值的性质：||x|-|y||≤|x+y|≤|x|+|y|，考查充要条件的判断方法，是一道综合题．