Question

如图，边长为2的正方形ABCD与等边△BCS有公共边BC，把△BCS沿BC边折起，使二面角S-BC-A的余弦值为

3

3

．
（1）求证：平面SAC⊥平面SBD；
（2）求直线SA与平面SBC所成的角．

Answer 1

分析：（1）先作SO⊥平面ABCD于O，取BC中点E，根据SB=SC得到∠SEO是二面角S-BC-A的平面角，进而求出OE=1，从而得到O是正方形ABCD的中心以及SO⊥AC；再结合AC⊥BD即可得到AC⊥平面SBD进而证明结论；
（2）先取SC中点F，连接OF，则OF∥SA，作OG⊥SE于G，连接GF；根据BC⊥平面SOE，平面SOE⊥平面SBC，得到OG⊥平面SBC，∠OFG是OF与平面SBC所成的角；最后在三角形OFG求出角OFG即可得到结论．

解答：解：（1）证明：作SO⊥平面ABCD于O，取BC中点E，
连接OE，SE，
∵SB=SC，
∴SE⊥BC，OE⊥BC．
∠SEO是二面角S-BC-A的平面角．
SE=

3

，OE=SE×cos∠SEO=

3

×

3

3

=1．
∴O是正方形ABCD的中心．
连接AC、BD，则AC⊥BD，又SO⊥AC，SO∩BD=O，
∴AC⊥平面SBD，
∵AC?平面SAC，因此平面SAC⊥平面SBD；
（2）取SC中点F，连接OF，则OF∥SA，
作OG⊥SE于G，连接GF．
∵BC⊥平面SOE，平面SOE⊥平面SBC，
∴OG⊥平面SBC，∠OFG是OF与平面SBC所成的角．
SO=

2

，OG=

2

3

，OF=

1

2

SC=1，sin∠OFG=

6

3

．
因此，直线SA与平面SBC所成的角为arcsin

6

3

．

点评：本题主要考查面面垂直的判定以及线面所成的角的求法．在证明面面垂直时，一般是先证线线垂直，得到线面垂直，进而得到面面垂直．