Question

【题目】已知点P（﹣1， ）是椭圆E： =1（a＞b＞0）上一点，F1 ， F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A，B是椭圆E上两个动点，满足： （0＜λ＜4，且λ≠2），求直线AB的斜率．
（3）在（2）的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵PF1⊥x轴，∴F1（﹣1，0），c=1，F2（1，0），

∴|PF2|= = ，∴2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2，∴b2=3，

∴椭圆E的方程为：

（2）

证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），

由 （0＜λ＜4，且λ≠2），得（x1+1，y1﹣ ）+（x2+1，y2﹣ ）=λ（1，﹣ ），

∴x1+x2=λ﹣2，y1+y2= （2﹣λ）…①

又 ，两式相减得3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0…．．②

以①式代入可得AB的斜率k= =

（3）

解：设直线AB的方程为y= x+t，与3x2+4y2=12联立消去y并整理得 x2+tx+t2﹣3=0，△=3（4﹣t2），

|AB|= |x1﹣x2|= × = ，

点P到直线AB的距离为d= ，

△PAB的面积为S= |AB|×d= × |t﹣2|，

设f（t）=S2=﹣ （t4﹣4t3+16t﹣16）（﹣2＜t＜2），

f′（t）=﹣3（t3﹣3t2+4）=﹣3（t+1）（t﹣2）2，由f′（t）=0及﹣2＜t＜2得t=﹣1．

当t∈（﹣2，﹣1）时，f′（t）＞0，

当t∈（﹣1，2）时，f′（t）＜0，f（t）=﹣1时取得最大值 ，

所以S的最大值为 ．

此时x1+x2=﹣t=1=λ﹣2，λ=3．

【解析】（1）由PF1⊥x轴，求出2a=|PF1|+|PF2|=4，由此能求出椭圆E的方程．（2）设A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），由 （0＜λ＜4，且λ≠2），得x1+x2=λ﹣2，y1+y2= （2﹣λ），再由3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，由此能求出AB的斜率．（3）设直线AB的方程为y= x+t，与3x2+4y2=12联立得 x2+tx+t2﹣3=0，由此利用根的判别式、弦长公式、点到直线距离公式、三角形面积公式，求出△PAB的面积为S= × |t﹣2|，设f（t）=S2=﹣ （t4﹣4t3+16t﹣16）（﹣2＜t＜2），求出f′（t）=﹣3（t+1）（t﹣2）2 ， 由f′（t）=0及﹣2＜t＜2得t=﹣1．由此能求出结果．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．