(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程;
(2)过点D(2,0)作倾斜角为锐角的直线l与曲线C交于A、B两点,且=求直线l的方程;
(3)是否存在过D的弦AB,使得AB中点Q在y轴上的射影P满足PA⊥PB?
如果存在,求出AB的弦长;如果不存在,请说明理由.
(1)∵|a|-|b|=2,
∴=2<4.
∴M(x,y)到点F(-2,0)和D(2,0)的距离差为2.
∴M点的轨迹是以F、D为焦点,实轴长为2的双曲线的右支.
∴a=1,c=2,b2=3.
∴M点的轨迹方程是C:x2-=1(x≥1).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵=3,
∴(2-x1,-y1)=3(x2-2,y2),∴y1=-3y2,
设x=my+2,代入C:3(my+2)2-y2=3,
(3m2-1)y2+12my+9=0.
-2y2=y1+y2=,-3y22=y1y2=.
∴()2=,12m2=1-3m2,m2=.由已知m>0,l:x=y+2,即y=(x-2).
(3)假设存在满足条件的弦AB,则PQ为Rt△PAB斜边上的中线,∴2|PQ|=|AB|.
设Q(x0,y0),|PQ|=x0.
y0==-,x0=my0+2=+2=.
|PQ|=>0,m2<.
(y1-y2)2=()2-4×=36×.
|AB|2=(y1-y2)2+(x1-x2)2=(1+m2) (y1-y2)2=.
∴|AB|==2|PQ|=,∴m2=-,不可能成立.
∴不存在满足条件的弦.
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