Question

已知函数f（x）=（a、b是非零实常数）满足f（1）=，且方程f（x）=x有且仅有一个实数解．
（1）求a、b的值；
（2）在直角坐标系中，求定点A（0，2）到函数f（x）图象上任意一点P（x，y）的距离|AP|的最小值．
（3）当x∈（]时，不等式（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=，且f（1）=，
∴=，即a+b=2；
又=x有且仅有一个实数解，
∴x（）=0有且仅有一个实数解，为0．
∴b=1，a=1．
∴f（x）=．
（2）由（1）知，P（x，），
|AP|²=+x²
=+x²
=+[（x+1）-1]²，
令t=，
则|AP|²=t²+2t+1+-+1
=+2（t-）+4，
令r=t-，
则|AP|²=r²+2r+4=（r+1）²+3，
∴当r=-1，即t-=-1，t=时，|AP|的最小值为．
（3）∵x∈（]，
∴x+1＞＞0，
∴（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立?x＞m（m-x）-1恒成立?（1+m）x＞m²-1，
当m+1＞0，即m＞-1时，
有m-1＜x恒成立?m＜x+1?m＜（x+1）_min，
∴-1＜m＜；
当m+1＜0，即m＜-1时，同理可得m＞（x+1）_max=，
∴此时m不存在．
综上得-1＜m＜．
分析：（1）依题意，a+b=2，由x（）=0有且仅有一个实数解x=0可求得b=1，a=1；
（2）由（1）知，P（x，），从而可得|AP|²=+[（x+1）-1]²，通过换元，令t=，得|AP|²=+2（t-）+4，再令r=t-，通过配方即可求得|AP|的最小值；
（3）依题意，x∈（]时，不等式（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立?（1+m）x＞m²-1恒成立，通过对m+1＞0与m+1＜0的讨论，结合函数恒成立问题即可求得实数m的取值范围．
点评：本题考查函数恒成立问题，考查方程思想、分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，考查换元法与配方法，考查推理与运算能力，属于难题．