Question

有六根细木棒，其中较长的两根分别为

3

a、

2

a，其余四根均为a，用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为（　　）

• A．0
• B．

  6

  3

• C．0或

  6

  3

• D．以上都不对

Answer 1

分析：分类讨论：当较长的两条棱所在直线相交时，较长的两条棱所在直线所成角为∠ABC；当较长的两条棱所在直线异面时，可证CD⊥平面ABO，从而可得结论．

解答：解：当较长的两条棱所在直线相交时，如图所示：
不妨设AB=

3

a，BC=

2

a，AC=a，所以较长的两条棱所在直线所成角为∠ABC，
由勾股定理可得：∠ACB=90°，所以cos∠ABC=

6

3

所以此时较长的两条棱所在直线所成角的余弦值为：

6

3

当较长的两条棱所在直线异面时，
不妨设AD=

3

a，BC=

2

a，则BA=AC=BD=DC=a，
取CD的中点为O，连接OA，OB，所以CD⊥OA，CD⊥OB，
所以CD⊥平面ABO，所以CD⊥AB，
所以此时较长的两条棱所在直线所成角的余弦值为cos90°=0．
故选C．

点评：本题主要考查直线与直线的夹角问题，考查学生的空间想象能力与推理论证能力，解决的方法是平移直线或者判定线面垂直，此题属于中档题，