Question

11．函数f （x）=$\left\{\begin{array}{l}2-|x|，x≤2\\{（x-2）^2}，x＞2\end{array}\right.$，若函y=f （x）十f（2-x）-b，b∈R恰4个零，则b的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{7}{4}$，+∞）
• B． （一∞，$\frac{7}{4}$）
• C． （0，$\frac{7}{4}$）
• D． （$\frac{7}{4}$，2）

Answer 1

分析 由题意得g（x）=f （x）十f（2-x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2，x＜0}\\{2，0≤x≤2}\\{{x}^{2}-5x+8，x＞2}\end{array}\right.$，作函数g（x）的图象，从而结合图象可求得．

解答 解：∵f （x）=$\left\{\begin{array}{l}2-|x|，x≤2\\{（x-2）^2}，x＞2\end{array}\right.$，
∴f（2-x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-|2-x|，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
设g（x）=f （x）十f（2-x）
=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2，x＜0}\\{2，0≤x≤2}\\{{x}^{2}-5x+8，x＞2}\end{array}\right.$，
作函数g（x）的图象如下，
，
g（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$+2=$\frac{7}{4}$，g（$\frac{5}{2}$）=$（\frac{5}{2}）^{2}$-5×$\frac{5}{2}$+8=$\frac{7}{4}$；
结合图象可知，
b的取值范围是（$\frac{7}{4}$，2）；
故选：D．

点评 本题考查了函数的化简与分段函数的应用，同时考查了数形结合的思想应用．