Question

某自来水公司准备修建一条饮水渠，其横截面为如图所示的等腰梯形，∠ABC=120°，
按照设计要求，其横截面面积为平方米，为了使建造的水渠用料最省，横截面的周
长（梯形的底BC与两腰长的和）必须最小，设水渠深h米．
（Ⅰ）当h为多少米时，用料最省？
（Ⅱ）如果水渠的深度设计在的范围内，求横截面周长的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先利用解直角三角形知识求横截面的周长，再结合基本不等式求出周长面积的最小值即可；
（Ⅱ）先利用函数单调性的定义探求（1）中周长函数的单调性，再结合所给自变量的范围即可求横截面周长的最小值．
解答：解：（Ⅰ）h，AD=BC+2×hcot60°=BC+，，
使得=．
设外周长为l，则l=2AB+BC=，
当时等号成立，外周长的最小值为，此时堤高h为米；（8分）

（Ⅱ）．
解，l是h的增函数，
所以（米），（当h=3时取得最小值）．（14分）
点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、函数在实际问题中的应用等知识，属于中档题．