Question

某自来水公司准备修建一条饮水渠，其横截面为如图所示的等腰梯形，∠ABC=120°，
按照设计要求，其横截面面积为6

3

平方米，为了使建造的水渠用料最省，横截面的周
长（梯形的底BC与两腰长的和）必须最小，设水渠深h米．
（Ⅰ）当h为多少米时，用料最省？
（Ⅱ）如果水渠的深度设计在[3，2

3

]的范围内，求横截面周长的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用解直角三角形知识求横截面的周长，再结合基本不等式求出周长面积的最小值即可；
（Ⅱ）先利用函数单调性的定义探求（1）中周长函数的单调性，再结合所给自变量的范围即可求横截面周长的最小值．

解答：解：（Ⅰ）6

3

=

1

2

(AD+BC)h，AD=BC+2×hcot60°=BC+

2 3

3

h，6

3

=

1

2

(2BC+

2 3

3

h)h，
使得BC=

6 3

h

-

3

3

h=

3

h+

6 3

h

≥6

2

．
设外周长为l，则l=2AB+BC=

2h

sin60°

+

6 3

h

-

3

3

h，
当

3

h=

6 3

h

，即h=

6

时等号成立，外周长的最小值为6

2

，此时堤高h为

6

米；（8分）

（Ⅱ）

3

h+

6 3

h

=

3

(h+

6

h

)，设3≤h1＜h2≤2

3

．
解h2+

6

h2

-h1-

6

h1

=(h2-h1)(1-

6

h1h2

)＞0，l是h的增函数，
所以lmin=

3

×3+

6 3

3

=5

3

（米），（当h=3时取得最小值）．（14分）

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、函数在实际问题中的应用等知识，属于中档题．