Question

5．已知圆C₁：x²+y²+2x-6y+1=0，与圆C₂：x²+y²-4x+2y-11=0相交于A，B两点，求AB所在的直线方程和公共弦AB的长．

Answer 1

分析 两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式；求出第一个圆心到求出直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长．

解答 解：由圆C₁的方程减去圆C₂的方程，整理，得方程3x-4y+6=0，
又由于方程3x-4y+6=0是由两圆相减得到的，即两圆交点的坐标一定是方程3x-4y+6=0的解．因为两点确定一条直线，所以3x-4y+6=0是两圆公共弦AB所在的直线方程．
∵圆C₁：x²+y²+2x-6y+1=0，∴圆心为C₁（-1，3），半径r=3，
∴圆心C₁到直线AB的距离d=$\frac{|-3-12+6|}{\sqrt{25}}$=$\frac{9}{5}$，∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$\frac{24}{5}$．
∴AB所在的直线方程为3x-4y+6=0，公共弦AB的长为$\frac{24}{5}$．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键．