Question

【题目】如图，三棱柱中，侧棱平面， 为等腰直角三角形， ， ， 分别是， 的中点，且．

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）若，求点到平面的距离 .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）要证线面垂直，一般先证线线垂直，一个在中，利用勾股定理证得，然后由于三棱柱的侧棱与底面垂直，从而侧面与底面垂直，而底面是等腰直角三角形， 与垂直，从而与侧面垂直，于是有，由线面垂直的判定定理可得；

（Ⅱ）要求点到平面的距离，在四面体中的面积易求，可把此四面体看作以为顶点，以为底面的三棱锥，这时棱锥的高与底面积易求，从而由体积法可求得题设距离．

试题解析：

（Ⅰ）证明：连接．

∵是等腰直角三角形斜边的中点，所以，

∵平面， ， 平面， ，

又∵，

∴平面，

∵平面，∴．

设，则， ， ，

∴，∴．

又，∴平面．

（Ⅱ）解：取中点，连接，则，∴， 平面，

平面， ，

又∵，∴平面，

， ，

， ，解得．