Question

【题目】如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是棱BC的中点．
求证：（1）AD⊥C1D；
（2）A1B∥平面ADC1 ．

Answer 1

【答案】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，
所以C1C⊥平面ABC，又AD平面ABC，
所以C1C⊥AD，又点D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，
所以AD⊥BC，因为BC∩C1C=C，所以AD⊥平面BCC1B1 ，
又因为DC1平面BCC1B1 ， 所以AD⊥C1D；
（2）连接A1C交AC1于点E，再连接DE．
因为四边形A1ACC1为矩形，所以E为A1C的中点，
又因为D为BC的中点，所以ED∥A1B．
又A1B平面ADC1 ， ED平面ADC1 ， 所以A1B∥平面ADC1 ．

【解析】（1）欲证AD⊥C1D，而DC1平面BCC1B1 ， 可先证AD⊥平面BCC1B1 ， 而三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，则C1C⊥平面ABC，又AD平面ABC，
根据线面垂直的性质可知C1C⊥AD，又点D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，从而AD⊥BC，又BC∩C1C=C，满足定理所需条件；
（2）欲证A1B∥平面ADC1 ， 根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1B与平面ADC1内一直线平行即可，连接A1C交AC1于点E，再连接DE，根据中位线可知ED∥A1B，又A1B平面ADC1 ， ED平面ADC1 ， 满足定理所需条件．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的性质，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；垂直于同一个平面的两条直线平行才能得出正确答案．