Question

【题目】已知函数f（x）=3x+λ3﹣x（λ∈R）．
（1）当λ=﹣4时，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）为偶函数，求实数λ的值；
（3）若不等式f（x）≤6在x∈[0，2]上恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）当λ=﹣4时，f（x）=3x﹣43﹣x ，
令f（x）=0，得3x﹣43﹣x=0，
即（3x）2﹣4=0，解得x=log32．
故函数f（x）的零点为log32；
（2）∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x）．
∴3﹣x+λ3x=3x+λ3﹣x ， 即（1﹣λ）（3﹣x﹣3x）=0．
又∵3﹣x﹣3x不恒为零，
∴1﹣λ=0，即λ=1；
（3）由f（x）≤6，得3x+λ3﹣x≤6，
即．
令t=3x∈[1，9]，原不等式等价于t+在t∈[1，9]恒成立．
亦即λ≤﹣t2+6t在t∈[1，9]上恒成立．
令g（t）=﹣t2+6t，t∈[1，9]．
当t=9时，g（t）有最小值g（9）=﹣27．
∴λ≤﹣27．
【解析】（1）把λ=﹣4代入函数解析式，求解指数方程求得函数f（x）的零点；
（2）直接利用偶函数的性质列式求得λ的值；
（3）由不等式f（x）≤6在x∈[0，2]上恒成立，分离参数λ，换元后利用配方法求得最小值得答案．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数奇偶性的性质(在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇)．