Question

已知在数列{a_n}中,a₁=1且a_n+1=2a_n+1(n∈N^*),求a_n.

Answer 1

思路点拨:题目已知数列的递推公式,要求通项公式,没有现成的通项公式可用,此时要考虑将题目中的数列转化为与其相关的数列,并且这样的数列是等差或等比数列,从而将问题解决.

解法一:由a_n+1=2a_n+1(n∈N^*),得a_n+1+1=2(a_n+1),数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项、2为公比的等比数列,因此a_n+1=2×2^n-1=2ⁿ,a_n=2ⁿ-1.

解法二:由a_n+1=2a_n+1,得a_n+2=2a_n+1+1.

两式相减得a_n+2-a_n+1=2(a_n+1-a_n).

数列{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=2为首项、2为公比的等比数列,

因此a_n+1-a_n=2ⁿ,把a_n+1=2a_n+1代入a_n+1-a_n=2ⁿ,得a_n=2ⁿ-1.

[一通百通]将一个数列问题转化为基本数列来求解,这是解决有关数列的通项公式与前n项和公式的基本思路.通常若已知数列{a_n}的首项,且a_n+1=ma_n+k(其中m、k是常数)时,(1)当m≠1时,可设a_n+1-c=m(a_n-c),则a_n+1=ma_n+c(1-m),c=,从而将问题转化为相关的等比数列问题,从而求解；(2)当m=1时,有a_n+1-a_n=k,此时相应数列{a_n}即为等差数列,从而利用等差数列的相关知识求解.