练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

    设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．

    (1)若椭圆C上的点A(1，)到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．

    (2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程．

    (3)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值，试写出双曲线＝1具有类似特性的性质并加以证明．

    答案：
    解析：

    　　分析：由已知条件可写出椭圆方程及代入法求轨迹，本题不是直接证明椭圆中的性质，而是类似地转化到双曲线中证明双曲线具有的性质，用斜率公式及双曲线方程即可得证．

    　　解：(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2．

    　　又点A(1，)在椭圆上，因此＋＝1，b2＝3．

    　　∴c2＝a2－b2＝1．

    　　∴椭圆C的方程为＋＝1，焦点F1(－1，0)，F2(1，0)．

    　　(2)设椭圆C上的动点为K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)满足x＝，y＝，

    　　∴x1＝2x＋1，y1＝2y．

    　　∴＋＝1，即(x＋)2＋＝1为所求的轨迹方程．

    　　(3)类似的性质为：若M、N是双曲线＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．设点M的坐标为(m，n)，则点N的坐标为(－m，－n)，其中＝1．

    　　又设点P的坐标为(x，y)，由kPM＝，

    　　kPN＝，得kPM·kPN＝·＝．

    　　将y2＝x2－b2，n2＝m2－b2，代入得kPM·kPN＝．


    提示：

    类比定义和性质是中学数学中最常考查的一类问题，它能很好地培养学生探索问题的能力，应该给予足够的重视．有兴趣的同学也可证明椭圆具有的性质．类比是研究圆锥曲线的一种方法．


    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设F1，F2分别为椭C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点A(1，
    3
    2
    )    到两点的距离之和等于4．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；
    （Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点Q(0.
    1
    2
    )    求|PQ|的最大值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    设F1，F2分别为椭C：数学公式（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点数学公式到两点的距离之和等于4．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；
    （Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点数学公式求|PQ|的最大值．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案