Question

已知函数（ 是自然对数的底数）的最小值为．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）已知且，试解关于的不等式 ；

（Ⅲ）已知且.若存在实数，使得对任意的，都有，试求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）当时，不等式的解为；当时，不等式的解为

（3）3

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）因为，所以，故，

因为函数的最小值为，所以．              3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，.

当时，， 5分

故不等式可化为：，

即，           6分

得，

所以，当时，不等式的解为；

当时，不等式的解为．          8分

（Ⅲ）∵当且时，，

∴.

∴原命题等价转化为:存在实数，使得不等式对任意恒成立.        10分

令.

∵，∴函数在为减函数.       11分

又∵，∴.          12分

∴要使得对，值恒存在，只须．     13分

∵，

且函数在为减函数，

∴满足条件的最大整数的值为3．   14分

考点：函数与不等式

点评：主要是考查了函数与不等式的综合运用，以及导数研究函数单调性的求解属于中档题。