Question

（本小题满分12分）

已知函数 （是自然对数的底数，）.

（1）当时，求的单调区间；

 （2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；

（3）证明对一切恒成立.

 

Answer 1

【答案】

（1）在区间上单调递增，在区间上单调递减。

（2）；（3）．

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的 运用。利用导数的符号判定函数单调性和利用单调性逆向求解参数的范围，和不等式的证明。

（1）首先求解定义域和导数，然后令导数大于零，小于零得到单调区间。

（2）因为在区间上是增函数，则说明函数在给定区间的导函数恒大于等于零，利用分离参数的思想求解参数的取值范围。

（3）利用第一问中函数的结论，令得，，那么所以在上为减函数，可得对于任意，都有，故有

，放缩法证明不等式。

解：（1）当时，，

       

         由，……………………………………………..4分

         所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减。

     （2），

由题意得当时，恒成立。

令，有，得，

所以的范围是…………………………………………8分

（3）令得，，

所以在上为减函数，对于任意，都有，故有

即

即．                           ………12分