Question

（1）已知复数z=

(1-4i)(1+i)+2+4i

3+4i

i，z²+az+b=1+i，求实数a、b的值；
（2）已知z²=8+6i，求z+

100

z

的值．

Answer 1

分析：（1）求出z=1-i，代入z²+az+b=1+i，得：a+b-（a+2）=1+i，利用两个复数相等的充要条件求出实数a、b的值．
（2）设z=x+yi（x、y∈R），代入z²=8+6i，解得

x=3 y=1

或

x=-3 y=-1.

，从而得到得到复数z的值．

解答：解：（1）z=

7+i

3+4i

=

(7+i)(3-4i)

25

=1-i，代入z²+az+b=1+i，得：a+b-（a+2）=1+i，
所以有

a+b=1 a+2=-1

，解得

a=-3 b=4

．
（2）设z=x+yi（x、y∈R），代入z²=8+6i得：（x+yi）²=8+6i，所以有（x²-y²）+2xy=8+6i，
从而得方程组

x2-y2=8 2xy=6

，解得

x=3 y=1

或

x=-3 y=-1.

．
①当

2x=3 3y=14

时，原式=z(1+

100

z2

)=z(1+8-6i)=(3+i)(9-6i)=33-9i；
②当

8x=-3 9y=-110

时，原式=z(1+

100

z2

)=z(1+8-6i)=-(3+i)(9-6i)=-33+9i．
综上所述，z+

100

z

的值是±（33-9i）．

点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，两个复数相等的充要条件，求出复数z，是解题的关键．