Question

【题目】公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变.

（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性， 则再在该分组内逐个检测排査，设每个组个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？

（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排査的方法并不是很好， 或可将这些组的血样再进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排査，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？

（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案.

Answer 1

【答案】（1） 次，45人；（2）第一次每组159人，第二次每组13人；（3）见解析

【解析】

(1)根据最坏的情况是1000名被感染者分布在其中1000组里,可得检测总次数,再用基本不等式可得;

(2)设第一次每个组人,第二次每个组人,可得检测总次数,再用三元基本不等式,结合整数解可得;

(3)设第次分组中,每组人数为,则可得检测总次数,然后运用元基本不等式,结合,可得的最小值,进而得到所求结果.

(1)200万人平均分组,每组人,总共分组,每组检测一次,共需检测次,最坏的情况是1000名被感染者分布在其中1000组里,每组一人,然后在这1000组里逐个排查,每组需检测次,共需检测1000次,所以找到所有的被感染者共需检测次,

由,

当且仅当,所以 ,所以时等号成立.

由于为正整数,

所以当时,,

当时,,

因为,

所以要使检测总次数尽可能少,每个分组的最优人数为45人.

(2)设第一次每个组人,分组;第二次每个组人,分组

第一次需检测次,由(1)的思路知,第二次共需检测次,

所以两次检测的总次数为,

因为

,

当且仅当,

即, ,时等号成立,

因为,,且为正整数,

且,,

所以,时两次检测的总次数尽可能少,

则第一次每个组159人,第二次每个组13人,可使检测总次数尽可能少.

(3)假设进行次这样的分组检测,可以达到检测次数更少,

设第次分组中,每组人数为,

则总共检测次数为,

因为

,

当且仅当,时等号成立,

所以,

所以,

所以,

所以,

当时,,

因为,且为正整数,

所以可取,即这样进行了18次检验可得到总次数更小.