Question

（本题满分14分）函数,,其中a为常数,且函数和的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．

(Ⅰ)求此平行线的距离；

(Ⅱ)若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围；

(Ⅲ)对于函数和公共定义域中的任意实数，我们把的值称为两函数在处的偏差.求证:函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2．

Answer 1

解：（Ⅰ），，的图像与坐标轴的交点为，的图像与坐标轴的交点为，由题意得，即

又∵，∴。

∴，，∴函数和的图像在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：,∴两平行切线间的距离为  。

（Ⅱ）由得，故在有解，

令，则。当时，；

当时，∵，∵，

∴，∴ks*5u

故       

即在区间上单调递减，故，∴

即实数m的取值范围为 。   

（Ⅲ）解法一：

∵函数和的偏差为：，

∴，设为的解，则当，；

当，，∴在单调递减，在单调递增

∴           

∵，，∴

故

即函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2。

解法二：

由于函数和的偏差：，

令，；令，

∵，，∴在单调递增，在单调递减，在单调递增        ks*5u

∴，，∴

即函数和在其其公共定义域内的所有偏差都大于2。