Question

若不等式

t

t2+2

≤a≤

t+2

t2

，在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是

[

2

4

，1]

．

Answer 1

分析：欲使不等式

t

t2+2

≤a≤

t+2

t2

在t∈（0，2]上恒成立，只需求函数y1=

t

t2+2

在t∈（0，2]上的最大值，y2=

t+2

t2

在t∈（0，2]上的最小值，而函数y1=

t

t2+2

在t∈（0，2]上的最大值，利用基本不等式进行求解，y2=

t+2

t2

在t∈（0，2]上的最小值，利用配方法和二次函数的性质进行求解．

解答：解：要使不等式

t

t2+2

≤a≤

t+2

t2

在t∈（0，2]上恒成立，只需求函数y1=

t

t2+2

在t∈（0，2]上的最大值，y2=

t+2

t2

在t∈（0，2]上的最小值．
而y1=

t

t2+2

=

1

t+ 2 t

，根据基本不等式最值成立的条件可知函数在t=

2

时取得最大值为

2

4

y2=

t+2

t2

= 

1

t

+

2

t2

=2(

1

t

+

1

4

)2 -

1

8

，从而函数在t=2时取得最小值为1
所以实数a的取值范围是[

2

4

，1]
故答案为：[

2

4

，1]

点评：本题主要考查了不等式，函数的最值问题与恒成立结合的综合类问题，在解答的过程当中充分体现了恒成立的思想、二次函数求最值的方法和问题转化的能力，属于中档题．