Question

已知函数f（x）=（2^x-2^-x）m+（x³+x）n+x²-1（x∈R）
（1）求证：函数g（x）=f（x）-x²+1是奇函数；
（2）若f（2）=8，求f（-2）的值．

Answer 1

（1）证明：由题意知，g（x）=f（x）-x²+1=（2^x-2^-x）m+（x³+x）n，x∈R
设-x∈R，则g（-x）=（2^-x-2^x）m+（-x³-x）n=-（2^x-2^-x）m-（x³+x）n
∴g（-x）=-g（x），
∴函数g（x）是奇函数．
（2）令x=2和x=-2分别代入g（x）=f（x）-x²+1，
∴g（2）=f（2）-4+1 ①，g（-2）=f（-2）-4+1 ②，
由（1）得，g（x）=f（x）-x²+1是奇函数，则g（2）=-g（-2），
又∵f（2）=8，∴①+②得，f（-2）=-2．
分析：（1）把函数f（x）的解析式代入g（x）化简，再求出g（-x）的代数式，与g（x）进行比较，证出此函数是奇函数；
（2）令x=2和x=-2分别代入g（x）列出方程，根据（1）的结论和f（2）=8，求出f（-2）．
点评：本题考查了用定义证明奇函数，利用奇函数的关系进行求值，考查了代而不求思想即整体思想．