Question

14．如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点C、D在圆弧上，点A、B在两半径上，现将此矩形铝皮ABCD卷成一个以BC为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长BC=xcm圆柱的体积为Vcm³．（1）写出体积V关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？

Answer 1

分析 （1）连接OC，在Rt△OCB中，由BC=x，利用勾股定理可得OB，设圆柱底面半径为r，则π²r²=900-x²，利用V=πr²•x（其中0＜x＜30）即可得出．
（2）利用导数V′，得出其单调性即可．

解答 解：（1）连结OC，因为BC=x，所以$OB=\sqrt{900-{x^2}}$，
设圆柱底面半径为r，则$\sqrt{900-{x^2}}=πr$，即π²r²=900-x²，
所以，$V=π{r^2}•x=π•\frac{{900-{x^2}}}{π^2}•x=\frac{{900x-{x^3}}}{π}$其中0＜x＜30．…（7分）
（2）由${V^/}=\frac{{900-3{x^2}}}{π}=0$，得$x=10\sqrt{3}$，
又在$（0，10\sqrt{3}）$上V′＞0，在$（10\sqrt{3}，30）$上V′＜0，
所以，$V=\frac{{900x-{x^3}}}{π}$在$（0，10\sqrt{3}）$上是增函数，在$（10\sqrt{3}，30）$上是减函数，
所以，当$x=10\sqrt{3}$时，V有最大值..…（16分）

点评 熟练掌握勾股定理、圆柱的体积计算公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值等是解题的关键．