Question

19．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$满足（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）$•\overrightarrow{BC}$=0，且$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{2}$，则B=60°．

Answer 1

分析 设$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}}\end{array}|}=\overrightarrow{AE}$，$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}}\end{array}|}=\overrightarrow{AF}$，由$（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}）•\overrightarrow{BC}$=0，可得AD⊥BC，再根据四边形AEDF是菱形推出∠EAD=∠DAF，
再由第二个条件可得∠BAC=60°，得∴∠BAD=30°，从而∠ABC=60°．

解答 解：设$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}}\end{array}|}=\overrightarrow{AE}$，$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}}\end{array}|}=\overrightarrow{AF}$，
则原式可化为$（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}）•\overrightarrow{BC}$=0，
即$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=0，故AD⊥BC．
∵四边形AEDF是菱形，
$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$=$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{AE}}\end{array}||\begin{array}{l}{\overrightarrow{AF}}\end{array}|$cos∠BAC=$\frac{1}{2}$，
∴cos∠BAC=$\frac{1}{2}$，∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠DAC=30°，
又∵AD⊥BC，即△ABH为直角三角形
∴∠ABC=90°-30°=60°．
故答案为：60°．

点评 本题考查两个向量的加、减法的法则以及其几何意义，属于中档题．