【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线
与直线
之间的阴影部分记为
,区域
中动点
到
的距离之积为1.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)对于区域中动点
,求
的取值范围;
(3)动直线穿过区域
,分别交直线
于
两点,若直线
与点
的轨迹
有且只有一个公共点,求证:
的面积值为定值.
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析
【解析】
(1)根据点到直线的距离关系建立方程即可求出点的轨迹方程;
(2)将 变形为
,利用其几何意义求范围即可;
(3)根据直线和双曲线的位置关系,结合三角形的面积公式进行求解即可.
解:(1)由题意得,即
.
因为点在区域
内,所以
与
同号,得
,
即点的轨迹
的方程为
;
(2),
的几何意义为:区域
中动点
到点
的距离的平方再减去5.
观察图形得,区域中动点
到点
的距离的最小值就是点
到直线
的距离,无最大值,
即的最小值为
,
的取值范围为
;
(3)设直线与
轴相交于点
,
当直线的斜率不存在时,
,
,得
.
当直线的斜率存在时,
设其方程为,显然
,则
,
把直线的方程与
:
联立
得,
由直线与轨迹C有且只有一个公共点,
知,
,
或
.
设,
由得
,
同理,得.
.
综上,的面积恒为定值2.
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【题目】如图,梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直,AB∥CD∥EF,AB⊥AD,CD=DA=AF=FE=2,AB=4.
(1)求证:DF∥平面BCE;
(2)求二面角C—BF—A的正弦值;
(3)线段CE上是否存在点G,使得AG⊥平面BCF?请说明理由.
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【题目】总体由编号为01,02,…,49,50的50个个体组成,利用下面的随机数表选取6个个体,选取方法是从随机数表第7行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字,则选出的第4个个体的编号为( )
附:第6行至第8行的随机数表
2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477
0111 1630 2404 2979 7991 9624 5125 3211 4919
7306 4916 7677 8733 9974 6732 2635 7900 3370
A.11B.24C.25D.20
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【题目】如图,AOB是一块半径为r的扇形空地,.某单位计划在空地上修建一个矩形的活动场地OCDE及一矩形停车场EFGH,剩余的地方进行绿化.若
,设
(Ⅰ)记活动场地与停车场占地总面积为,求
的表达式;
(Ⅱ)当为何值时,可使活动场地与停车场占地总面积最大.
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【题目】设y=f(x)在(-∞,1]上有定义,对于给定的实数K,定义fK(x)=,给出函数f(x)=2x+1-4x,若对于任意x∈(-∞,1],恒有fK(x)=f(x),则( )
A.K的最大值为0
B.K的最小值为0
C.K的最大值为1
D.K的最小值为1
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【题目】已知函数,x∈[-1,1],函数
,a∈R的最小值为h(a).
(1)求h(a)的解析式;
(2)是否存在实数m,n同时满足下列两个条件:①m>n>3;②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2]?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】设数列的前
项的和为
且
数列
满足
且对任意正整数
都有
成等比数列.
(1)求数列的通项公式.
(2)证明数列为等差数列.
(3)令问是否存在正整数
使得
成等比数列?若存在,求出
的值,若不存在,说明理由.
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