Question

【题目】如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD，CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB＝4.

(1)求证：DF∥平面BCE；

(2)求二面角C—BF—A的正弦值；

(3)线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【解析】

(1)由CD∥EF, CD=EF，得到四边形CDFE为平行四边形，从而DF∥CE，由线面平行的判定定理得证DF∥平面BCE；(2)在平面ABEF内，过A作AZ⊥AB，以A为原点，AD、AB、AZ所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，写出相应的坐标，求出平面BCF的一个法向量n和平面ABF的一个法向量v的坐标，利用夹角公式求出二面角C—BF—A的余弦值，进而用同角三角函数关系求出正弦值；(3)假设存在满足条件的点G，设＝λ，求出G点坐标，从而得的坐标，由∥n构造方程组，方程组无解，从而判断满足条件的点G不存在．

(1)证明：因为CD∥EF，且CD＝EF，所以四边形CDFE为平行四边形，所以DF∥CE，因为DF平面BCE，

所以DF∥平面BCE.

(2)在平面ABEF内，过A作AZ⊥AB，因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，又AZ平面ABEF，AZ⊥AB，所以Az⊥平面ABCD，

所以AD⊥AB，AD⊥AZ，AZ⊥AB，

如图建立空间直角坐标系A—xyz.

由题意得，A(0,0,0)，B(0,4,0)，C(2,2,0)，E(0,3，)，F(0,1，)．

所以＝(2，－2,0)，＝(0，－3，)．

设平面BCF的法向量为n＝(x，y，z)，则即

令y＝1，则x＝1，z＝，所以n＝(1,1，)．

平面ABF的一个法向量为v＝(1,0,0)，

则cos〈n，v〉＝＝，sin〈n，v〉＝.

所以二面角C—BF—A的正弦值为.

(3)线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF，理由如下：

假设线段CE上存在点G，使得AG⊥平面BCF，设＝λ，其中λ∈[0,1]．

设G(x2，y2，z2)，则有(x2－2，y2－2，z2)＝(－2λ，λ，λ)，

所以x2＝2－2λ，y2＝2＋λ，z2＝λ，从而G(2－2λ，2＋λ，λ)，

所以＝(2－2λ，2＋λ，λ)．

因为AG⊥平面BCF，所以∥n.

所以有＝＝，

因为上述方程无解，所以假设不成立．

所以线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF.