Question

5．已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2^x-2．
若同时满足条件：
①任意x∈R满足f（x）＜0或g（x）＜0；
②存在x∈（-∞，-4）满足f（x）g（x）＜0，则m的取值范围是（-4，-2）．

Answer 1

分析 因g（x）=2^x-2＜0时x＜1，由题意f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1时成立，根据二次函数的性质求出m的取值范围；因x∈（-∞，-4）时f（x）g（x）＜0，而g（x）=2^x-2＜0，则f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0在x∈（-∞，-4）时成立，结合二次函数的性质求出m的取值范围．

解答 解：∵g（x）=2^x-2，当x＜1时，g（x）＜0，
又?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立，
∴由二次函数的性质知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左边，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{-m-3＜1}\\{2m＜1}\end{array}\right.$，
解得-4＜m＜0，
又x∈（-∞，-4）时，f（x）g（x）＜0，
此时g（x）=2^x-2＜0恒成立，
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0在x∈（-∞，-4）有成立的可能，
则只要-4比x₁，x₂中的较小的根大即可．
（i）当-1＜m＜0时，-m-3＜-4不成立，
（ii）当m=-1时，有2等根，不成立，
（iii）当-4＜m＜-1时，2m＜-4即m＜-2成立；
综上可得①②成立时-4＜m＜-2．
故答案为：（-4，-2）．

点评 本题用全称命题与存在性命题考查了指数函数与二次函数性质的应用问题，是易错题．