Question

15．在等差数列{a_n}中，a₁+a₂+a₃=6，a₅=5，
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁+a₂+a₃=6，a₅=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=6}\\{{a}_{1}+4d=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=1}\end{array}\right.$，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=$1-\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．