Question

1．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$，其中$|\overrightarrow a|=1，|\overrightarrow b|=2$，且$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow a-\overrightarrow b）$，则向量$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$的夹角是（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 由题意和垂直关系可得向量夹角余弦值的方程，解方程结合夹角的范围可得．

解答 解：∵$|\overrightarrow a|=1，|\overrightarrow b|=2$，且$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow a-\overrightarrow b）$，
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1-1×2×cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=0，
解得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{1}{2}$，
∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的取值范围是[0，π]，
∴向量$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$的夹角＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查向量的数量积和夹角以及垂直关系，属基础题．