Question

在某次考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分的为及格．
（1）用样本估计总体，请根据茎叶图对甲乙两个班级的成绩进行比较；
（2）求从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格的条件下乙班同学不及格的概率；
（3）从甲班10人中抽取一人，乙班10人中抽取二人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,茎叶图,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）从茎叶图分别求出甲、乙班的平均分和方差，从而得到甲乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定．
（2）事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格”记A；事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记B，由此利用条件概率公式能求出有人及格的条件下乙班同学不及格的概率．
（3）X的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答： 本小题满分（12分）
解：（1）从茎叶图可以得到：
甲班的平均分为：

.

x甲

=

1

10

（72+75+77+84+87+88+95+98+106+108）=89分，
乙班平均分为：

.

x乙

=

1

10

（78+79+86+87+88+91+92+93+95+101）=89分．
甲班的方差S甲2=

1

10

[（72-89）²+（75-89）²+（77-89）²+（84-89）²+（87-89）²+（88-89）²+（95-89）²+（98-89）²+（106-89）²+（108-89）²]=142.6，
乙班的方差S乙2=

1

10

[（78-89）²+（79-89）²+（86-89）²+（87-89）²+（88-89）²+（91-89）²+（92-89）²+（93-89）²+（95-89）²+（101-89）²]=44.4，
所以甲乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定．…（4分）
（本小问只要学生说出两点以上正确的分析内容就可以给分）
（2）事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格”记A；
事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记B
则P(B/A)=

P(A•B)

P(A)

=

2

7

…（8分）
（3）X的取值为0，1，2，3，
P（X=0）=

C 1 6

C 1 10

•

C 2 5

C 2 10

=

2

15

，
P（X=1）=

C 1 4

C 1 10

•

C 2 5

C 2 10

+

C 1 6

C 1 10

•

C 1 5 C 1 5

C 2 10

=

19

45

，
P（X=2）=

C 1 4

C 1 10

•

C 1 5 C 1 5

C 2 10

+

C 1 6

C 1 10

•

C 2 5

C 2 10

=

16

45

，
P（X=3）=

C 1 4

C 1 10

•

C 2 5

C 2 10

=

4

45

，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	2 15	19 45	16 45	4 45

期望EX=0×

2

5

+1×

19

45

+2×

16

45

+3×

4

45

=

7

5

．…（12分）

点评：本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．