Question

【题目】已知椭圆：的上顶点为，右焦点为F，连结TF并延长与椭圆交于点S，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线与x轴交于点M，过点M的直线AB与交于A、B两点，点P为直线上任意一点，设直线AB与直线交于点N，记PA，PB，PN的斜率分别为，，，则是否存在实数，使得恒成立？若是，请求出的值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）;（2）存在,

【解析】

（1）易得，由连结TF并延长与椭圆交于点S，且，可得，代入椭圆方程可得，可得椭圆方程；

（2）可得M点坐标，设直线AB的方程为：，设，，,可得N点坐标，设P点坐标，可得，联立直线与椭圆方程，可得 ，的值，，计算的值，代入 ，，与进行比较可得的值.

解：由椭圆：的上顶点为，可得，

连结TF并延长与椭圆交于点S，且，可得，

代入椭圆方程：，可得，可得，结合，

可得，，故椭圆方程为：；

（2）可得M点坐标，设直线AB的方程为：，

设，,可得N点坐标，

设P点坐标，可得，

联立直线与椭圆方程可得：，化简可得：，

可得：，，

可得：，，

可得，

代入：，，

可得：，化简可得，

由恒成立，可得，

可得当时恒成立.