Question

4．如表提供了某厂生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：

x	2	4	6	8	10
y	5	6	5	9	10

（1）请根据表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\widehaty$=$\widehatb$x+$\widehata$；
（2）根据（1）求出的线性回归方程，预测生产20吨甲产品的生产能耗是多少吨标准煤？

Answer 1

分析 （1）产量x与相应的生产能耗y的平均数，得到样本中心点，把所给的数据代入公式，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，再求出$\widehata$的值，从而得到线性回归方程；
（2）当x=20，代入回归直线方程，求得$\widehaty$．

解答 解：（1）由题意得$\overline x$=$\frac{2+4+6+8+10}{5}$=6，$\overline y$=$\frac{5+6+5+9+10}{5}$=7，…（1分）
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}$=2×5+4×6+6×5+8×9+10×10=236，…（3分）
$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}$=4+16+36+64+100=220，…（4分）
则$\widehatb$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{236-5×6×7}{220-5×36}$=0.65，…（6分）
$\widehata$=$\overline y$-$\widehatb$$\overline x$=7-0.65×6=3.1，…（8分）
故线性回归方程为$\widehaty$=0.65x+3.1；…（9分）
（2）根据线性回归方程的预测，现在生产当x=20吨时，产品消耗的标准煤的数量$\widehaty$为：$\widehaty$=0.65×20+3.1=16.1（11分）
答：预测生产20吨甲产品的生产能耗16.1吨标准煤…（12分）

点评 本题考查线性回归方程的求法和应用，解题的关键是正确利用最小二乘法公式，属于中档题．