Question

理科已知函数，当时，函数取得极大值.

（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得.试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有；（Ⅲ）已知正数满足求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数,都有

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）m=-1；（Ⅱ）利用导数判断函数的单调性，从而证明不等式；（Ⅲ）利用数学归纳法证明

【解析】

试题分析：（Ⅰ）. 由，得，此时.

当时，，函数在区间上单调递增；

当时，，函数在区间上单调递减.

函数在处取得极大值，故.  3分

（Ⅱ）令，  4分

则.函数在上可导，存在，使得.又

当时，，单调递增，；

当时，，单调递减，；

故对任意，都有.  8分

（Ⅲ）用数学归纳法证明.

①当时，，且，，

，由（Ⅱ）得，即

，

当时，结论成立.  9分

②假设当时结论成立，即当时，

. 当时，设正数满足令，

 

则，且.

   13分

当时，结论也成立.

综上由①②，对任意，，结论恒成立.  14分

考点：本题考查了导数的运用

点评：近几年新课标高考对于函数与导数这一综合问题的命制，一般以有理函数与半超越（指数、对数）函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体，解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽，这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识，注重数学思想（分类与整合、数与形的结合）方法（分析法、综合法、数学归纳法）的运用.把数学运算的“力量”与数学思维的“技巧”完美结合.